第 60 章 DFS 深度优先搜索¶
本章配套 18 道例题，见 §例题。 前置：函数（递归）、栈、复杂度与Python性能
DFS（Depth First Search，深度优先搜索）是「一条路走到黑，走不通再退回来换一条」。 它是所有搜索算法的地基：回溯、记忆化搜索、剪枝、树上 DP、Tarjan、DLX， 全都是 DFS 加了点东西。
但 DFS 是 Python 在算法竞赛里最大的一个坑。 C++ 选手写 DFS 从不考虑深度，Python 选手写 DFS 必须先算深度—— 默认递归上限只有 1000 层，而且就算把它调大，物理栈照样会静默崩溃（连报错都没有）。
所以这一章的重点不是「DFS 怎么写」，而是： 什么时候可以放心递归，什么时候必须改成迭代，以及怎么改。
1 DFS 的递归框架¶
最小骨架¶
def dfs(u):
"""访问节点 u。vis 防止重复访问，是 DFS 的灵魂。"""
vis[u] = True # 一进门就标记，递归返回之前不会有人再进来
for v in adj[u]: # 枚举 u 的所有后继
if not vis[v]: # 漏掉这一句，图上只要有环就会无限递归
dfs(v)
三个必备部件，缺一个就会死循环或者指数爆炸：
| 部件 | 作用 | 漏掉的后果 |
|---|---|---|
vis 标记 |
每个状态只处理一次 | 图上有环 → 死递归；DAG 上 → 指数级重复 |
| 后继枚举 | 定义「往哪走」 | — |
| 边界/出口 | 何时停止 | 无穷递归 |
连通块的求法就是这个骨架的直接应用：
使用 DFS 或者 BFS 找出所有连通块：DFS 或 BFS 的过程中标记已经访问过的节点，避免重复访问。时间复杂度 \(\Theta(n+m)\)。
什么时候标记 vis¶
这是最容易写错的地方，两种时机语义完全不同：
| 写法 | 语义 | 用途 |
|---|---|---|
进入 dfs(u) 时立刻标记，且不撤销 |
「这个点全局只访问一次」 | 连通块、可达性、拓扑序 |
进入时标记，返回前撤销（vis[u] = False） |
「这个点不能在当前路径上重复」 | 回溯、找所有路径、全排列 |
⚠️ 不撤销 = 遍历，撤销 = 枚举。 把「求连通块」写成撤销版会退化成指数级枚举所有路径； 把「找所有路径」写成不撤销版会漏掉绝大多数方案。 写之前先问一句：这是在「走遍全图」还是在「枚举所有可能」？
网格上的 DFS¶
网格图是最常见的隐式图：格子是点，上下左右（或八向）相邻是边。
# 四方向 / 八方向偏移量，写成常量元组，别在循环里现造
DIR4 = ((-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)) # 每项是 (行增量, 列增量)
DIR8 = ((-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), # 八连通 = 3x3 邻域去掉 (0, 0)
(0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1))
def dfs_grid(g, vis, x, y, n, m):
"""网格四连通 DFS（递归版）。仅在深度可控时使用！"""
vis[x][y] = 1 # 进入即标记且不撤销 = 每格只走一次
for dx, dy in DIR4:
nx, ny = x + dx, y + dy
# 四个条件的先后不能换：确认下标合法之后，才敢拿它去索引 vis 和 g
if 0 <= nx < n and 0 <= ny < m and not vis[nx][ny] and g[nx][ny] != '#':
dfs_grid(g, vis, nx, ny, n, m)
这段代码在 Python 里是个定时炸弹。 \(n = m = 100\) 的网格，如果整张图是一条蛇形通道，递归深度就是 \(10^4\) 层—— 远超默认的 1000。BISHI76、BISHI77 都是 \(100 \times 100\)， 所以那两题的题解都用了显式栈，见 §4。
2 回溯：DFS 的枚举形态¶
回溯（backtracking）就是「做选择 → 递归 → 撤销选择」的 DFS。 它枚举的不是图上的点，而是决策序列。
通用模板¶
def backtrack(path, state):
"""回溯三件套：选择 -> 递归 -> 撤销。三步一步都不能少。"""
if is_answer(path):
record(path[:]) # ★ 必须复制！path 后面还要改
return # 收下这一组解，本条路径到此为止
for choice in candidates(state):
if not ok(choice, state): # 剪枝：不合法就别往下走
continue
do(choice, path, state) # 1. 做选择
backtrack(path, state) # 2. 递归
undo(choice, path, state) # 3. 撤销：现场恢复成进入本层时的样子
⚠️
record(path[:])里的切片不能省。path是同一个 list 对象， 回溯过程中它会被反复修改；直接record(path)存进去的是引用， 最后拿到的会是一堆指向同一个空列表的引用。 这是回溯题最高频的 bug，见 列表 的复制陷阱。
三大枚举：排列 / 子集 / 组合¶
这三个是回溯的「Hello World」，务必背下来它们的结构差异。
| 枚举对象 | 数量 | 关键控制 |
|---|---|---|
| 排列 | \(n!\) | used[] 标记，每层从头扫 |
| 子集 | \(2^n\) | 每个元素「选 / 不选」，或按起点 start 递增 |
| 组合 \(C(n,k)\) | \(\binom{n}{k}\) | 按起点 start 递增，选够 \(k\) 个就收 |
def permutations_dfs(n):
"""1..n 的全排列，按字典序输出。O(n! * n)。"""
res = []
path = [] # 当前已经确定的前几位
used = [False] * (n + 1) # used[v]：v 是否已经出现在 path 里
# 开 n+1 格，下标直接用 1..n，不做偏移
def dfs():
if len(path) == n:
res.append(path[:]) # 复制！path 是同一个对象，之后还会被改
return
for v in range(1, n + 1): # 从小到大 -> 天然字典序
if used[v]:
continue # 排列里每个数只能出现一次
used[v] = True
path.append(v)
dfs()
path.pop() # 撤销
used[v] = False # 撤销：v 换到别的位置上还要再用
dfs()
return res
def subsets_dfs(a):
"""a 的所有子集，O(2^n * n)。按「起点递增」写，天然不重不漏。"""
n = len(a)
res = []
path = []
def dfs(start):
res.append(path[:]) # 每个节点都是一个子集，根节点是空集
for i in range(start, n): # 只从 start 往后挑，同一子集不会被换序枚举
path.append(a[i])
dfs(i + 1) # ★ i+1：后面的元素只能选更靠后的
path.pop() # 撤销，换下一个 i
dfs(0)
return res
def combinations_dfs(n, k):
"""从 1..n 中选 k 个的所有组合。"""
res = []
path = []
def dfs(start):
if len(path) == k:
res.append(path[:])
return
# 剪枝：还差 k-len(path) 个数，i 最大只能取到 n-(k-len(path))+1；
# range 的右端是开区间，所以写成 +2
for i in range(start, n - (k - len(path)) + 2):
path.append(i)
dfs(i + 1) # 下一层从 i+1 起，组合不计顺序
path.pop()
dfs(1) # 元素编号是 1..n，所以起点取 1
return res
但在 Python 里：先想想 itertools¶
这是全书反复强调的取舍。 itertools 的循环在 C 层跑，
比手写 Python 递归快一个数量级：
| 手写回溯 | itertools 等价物 |
相对速度 |
|---|---|---|
permutations_dfs(n) |
itertools.permutations(range(1, n+1)) |
约 10–30× |
combinations_dfs(n, k) |
itertools.combinations(a, k) |
约 10–30× |
subsets_dfs(a) |
chain.from_iterable(combinations(a, r) for r in range(len(a)+1)) |
约 10× |
| 笛卡尔积（每位独立选） | itertools.product(opts, repeat=n) |
约 10× |
| \(2^n\) 子集（位运算枚举） | for s in range(1 << n): ... |
见 位运算 |
判据：如果枚举没有剪枝（要枚举出全部方案），一律用
itertools； 如果枚举必须靠剪枝才能跑完（比如 N 皇后、数独），就得手写回溯—— 因为itertools没法在中途「掐断一整个分支」。BISHI78 全排列就是前者，题解直接用了
itertools.permutations。
3 连通块与泛洪填充¶
「数有多少个岛 / 水坑 / 联通区域」是 DFS 最经典的应用：
def count_components(g, n, m, target, dirs):
"""数网格中值为 target 的连通块个数。dirs 传 DIR4 或 DIR8。O(nm)。"""
vis = [bytearray(m) for _ in range(n)] # 每格 1 字节，比 list of bool 省内存
cnt = 0
for si in range(n):
for sj in range(m):
if g[si][sj] != target or vis[si][sj]:
continue # 不是目标格，或已属于前面数过的块
cnt += 1 # 每找到一个新起点，就是一个新连通块
vis[si][sj] = 1
stack = [(si, sj)] # 显式栈，不用递归
while stack:
x, y = stack.pop()
for dx, dy in dirs:
nx, ny = x + dx, y + dy
if 0 <= nx < n and 0 <= ny < m \
and not vis[nx][ny] and g[nx][ny] == target:
vis[nx][ny] = 1 # ★ 入栈即标记
stack.append((nx, ny))
return cnt
「入栈即标记」是迭代 DFS/BFS 的铁律。 如果改成「出栈时才标记」，同一个格子会被它的 4（或 8）个邻居各压一次， 栈的规模会从 \(O(nm)\) 膨胀到 \(O(8nm)\)，还可能重复计数。
连通块题的常见变体：
| 变体 | 改动 |
|---|---|
| 求最大连通块面积 | 在遍历时累加 size |
| 求连通块的外接矩形 | 维护 minr/maxr/minc/maxc（BISHI81） |
| 判块是否为实心矩形 | size == (maxr-minr+1)*(maxc-minc+1)（BISHI81） |
| 八连通 | 方向数组换成 DIR8（BISHI77） |
| 每个块要回答多次询问 | 给每个格子打上「块编号」，预处理块大小 |
| 只问「起点能否到终点」 | 不用数块，一次泛洪即可（BISHI76） |
4 递归改迭代¶
这一节是本章的核心，也是 Python 选手必须过的一关。
为什么必须改：三层限制¶
第一层：解释器软限制 = 1000。
超过就抛 RecursionError，这是能捕获、有报错的，还算友好。
第二层：物理 C 栈。 sys.setrecursionlimit(10**6) 只是把计数器调大，
并不会带来更多的栈空间。每一层 Python 函数调用都要在 C 栈上放一个求值帧，
撞破 C 栈的结果是进程直接被操作系统杀掉：没有异常、没有 traceback、
在判题机上表现为「运行错误」甚至「输出为空」，极难定位。
本机（Windows + CPython 3.9）实测：
| 环境 | 栈大小 | 裸递归可达深度 |
|---|---|---|
| 主线程（Windows 默认） | 1 MB | 约 2500–2800 层就静默崩溃 |
| 主线程（Linux 判题机常见） | 8 MB | 约 2 万层 |
threading.stack_size(1 << 26) 新线程 |
64 MB | 7 万层以上没问题 |
换算：每层递归约吃掉 0.4–1 KB 的 C 栈（函数局部变量越多越吃）。 想要 \(10^5\) 层深度，至少要准备 64 MB 以上的栈。
第三层：速度。 一次 Python 函数调用约 0.1 μs，\(10^6\) 次递归光调用开销就接近 1 秒。 详见 复杂度与Python性能。
setrecursionlimit vs threading.stack_size¶
这两个东西解决的是完全不同的问题，必须一起用。
sys.setrecursionlimit(N) |
threading.stack_size(N) |
|
|---|---|---|
| 改的是什么 | 解释器的计数器上限（软限制） | 新线程的物理栈字节数（硬限制） |
| 不改的后果 | RecursionError（有报错） |
段错误/静默崩溃（无报错） |
| 对主线程有效吗 | ✅ 有效 | ❌ 无效，只对之后创建的线程生效 |
| 单独用够不够 | ❌ 不够，仍会崩 | ❌ 不够，仍会 RecursionError |
正确的「开大栈」写法（两个都要设，且必须新起线程）：
import sys
import threading
def main():
sys.setrecursionlimit(300000) # 1. 解除软限制
... # 在这里写递归逻辑
threading.stack_size(1 << 26) # 2. 64 MB 物理栈（必须在 Thread 创建前调用）
t = threading.Thread(target=main)
t.start()
t.join() # 等子线程跑完；主线程先退出会截断输出
三个细节： 1.
threading.stack_size必须在Thread(...)构造之前调用，之后调用无效； 2. 有些评测机对线程栈大小有上限，1 << 26（64 MB）是比较安全的取值， 盲目开到1 << 30可能直接ThreadError: can't start new thread； 3.sys.setrecursionlimit要在线程内部（或至少在start()之前）设， 它是解释器全局的，设一次即可。
改法一：纯遍历型 DFS → 直接换成显式栈¶
只在「进入节点」时做事、不需要「回来之后再做事」的 DFS，改写是机械的：
# ---- 递归版 ----
def dfs(u):
vis[u] = 1 # 进入时标记且不撤销 = 全局只访问一次
for v in adj[u]:
if not vis[v]:
dfs(v) # 递归深度 = 最长路径长度，随时可能爆栈
# ---- 迭代版（等价，深度不受限）----
def dfs_iter(s):
vis[s] = 1 # 起点压栈之前先标记，与下面的规则保持一致
stack = [s]
while stack:
u = stack.pop() # 后进先出，效果就是「一条路走到黑」
for v in adj[u]:
if not vis[v]:
vis[v] = 1 # ★ 入栈即标记
stack.append(v)
访问顺序会变：递归版按
adj[u]的正序深入，迭代版因为栈是后进先出， 实际是按逆序深入。如果题目对遍历顺序敏感（比如要求字典序最小的 DFS 序）， 就要for v in reversed(adj[u])。只求连通性/可达性时顺序无所谓。
改法二：需要「回来之后再做事」→ 两趟法¶
树上 DP、求子树大小、求 DFS 序……这类需要后序处理的问题， 不能简单换成显式栈。最好用的写法是「两趟法」： 第一趟只求出访问顺序和父亲，第二趟倒着扫一遍就是后序。
def tree_dp_two_pass(n, adj, root=1):
"""树上后序 DP 的迭代写法。O(n)，深度不受限。
第一趟：BFS/DFS 求出 order（访问顺序）和 par（父亲）；
第二趟：reversed(order) 即为后序，儿子一定先于父亲被处理。
"""
par = [0] * (n + 1) # par[v] = v 的父亲；0 表示「没有父亲」
order = [] # 第一趟的访问顺序，也就是一个合法的 DFS 序
stack = [root]
par[root] = 0 # 根没有父亲，用 0 当哨兵
vis = bytearray(n + 1)
vis[root] = 1
while stack:
u = stack.pop()
order.append(u)
for v in adj[u]:
if not vis[v]: # 无根树的邻接表不分方向，靠 vis 挡住「走回父亲」
vis[v] = 1 # ★ 入栈即标记
par[v] = u
stack.append(v)
size = [1] * (n + 1) # 每个点先把自己算进子树大小
for u in reversed(order): # ★ 倒序 = 后序：儿子已经算完了
p = par[u]
if p: # 根的父亲是 0，到根就停，不再往外累加
size[p] += size[u]
return size, order, par
这是 Python 里写树上 DP 的标准姿势，比任何状态机写法都简洁。 记住这句话：「reversed(DFS 序) 就是后序」。 见 树的基础与遍历、 树形 DP。
改法三：真正需要「进入/退出」两个时机 → 事件栈¶
Tarjan、求 DFS 括号序、需要在退出时撤销现场的场合，用「状态机栈」：
def dfs_events(s, adj):
"""栈里存 (节点, 阶段)。阶段 0 = 进入，阶段 1 = 退出。"""
vis = {}
stack = [(s, 0)]
while stack:
u, stage = stack.pop()
if stage == 0:
if u in vis:
continue # 同一点可能被多个邻居压入，靠这一句去重
vis[u] = True # 这里只能出栈时标记，理由见下方说明
stack.append((u, 1)) # ★ 先压「退出事件」：它会在所有孩子之后才弹出
for v in reversed(adj[u]): # 逆序压栈以保持正序访问
if v not in vis:
stack.append((v, 0))
# ---- 在这里写「进入 u 时」要做的事 ----
else:
pass
# ---- 在这里写「离开 u 时」要做的事（后序）----
事件栈是「入栈即标记」的唯一例外：进入事件和退出事件必须成对， 而退出事件只能在真正展开 \(u\) 时才压得进去，所以标记只能推迟到出栈那一刻。 代价是同一个点可能被压入多次，栈的规模比改法一大，靠
if u in vis: continue兜住。
另一种等价写法是「迭代器栈」，更接近递归的语义（能保留「循环走到哪了」）：
def dfs_iterstack(s, adj):
"""栈里存 (节点, 该节点的邻居迭代器)。最贴近递归语义的迭代改写。"""
vis = {s}
stack = [(s, iter(adj[s]))] # 迭代器记住「这一层的循环走到哪了」
while stack:
u, it = stack[-1] # 只看栈顶不弹出，这一层可能还没走完
advanced = False
for v in it: # 从上次断点继续
if v not in vis:
vis.add(v) # ★ 入栈即标记
stack.append((v, iter(adj[v])))
advanced = True
break # 立刻下潜；剩下的邻居等回到这一层再走
if not advanced:
stack.pop() # 邻居全部走完，这一层才真正出栈
# ---- 这里是「离开 u」，后序位置 ----
| 改法 | 适用 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 显式栈（改法一） | 只需前序 / 只求可达性 | 最简单最快 | 拿不到后序 |
| 两趟法（改法二） | 树 / DAG 上的后序 DP | 最快、最好写 | 需要先存下整个访问序 |
| 事件栈（改法三） | 需要进入+退出两个时机 | 通用 | 栈元素多一倍，常数大 |
| 迭代器栈 | 需要保留「循环进度」 | 语义最贴近递归 | 迭代器对象开销大，最慢 |
决策表：到底该不该递归¶
| 最大递归深度 | 建议 |
|---|---|
| \(\le 900\) | ✅ 直接递归，什么都不用做 |
| \(\le 10^4\) | ⚠️ setrecursionlimit + 开 64 MB 线程栈 |
| \(\le 10^5\) | ⚠️ 同上，但已经很险（时间也可能不够）；优先改迭代 |
| \(> 10^5\) | ❌ 必须改迭代，没有第二条路 |
| 深度未知/取决于数据 | ❌ 一律按最坏情况算：链状树、蛇形迷宫都是 \(O(n)\) 深 |
实战建议：竞赛里遇到图/树/网格的 DFS， 直接上迭代版，不要先写递归再等着 RE。 迭代版只多写三行，却省掉了一整类不可调试的崩溃。
5 DFS 的复杂度¶
| 场景 | 复杂度 |
|---|---|
| 图的遍历（邻接表） | \(O(n + m)\) |
| 网格泛洪 | \(O(nm)\)，四连通常数 4，八连通常数 8 |
| 全排列枚举 | \(O(n! \cdot n)\) |
| 子集枚举 | \(O(2^n \cdot n)\) |
| 带剪枝的搜索 | 无法用大 O 描述，只能估「搜索树节点数」 |
最后一行是搜索题的本质：剪枝的好坏决定生死，见 记忆化搜索与剪枝。
DLX（Dancing Links X，用双向十字链表实现的精确覆盖搜索）的搜索流程，就是「剪枝驱动的 DFS」的典范：
- 如果当前矩阵没有列，则要求满足。
- 任意选取一列，如果这一列上没有 1，则无解（← 可行性剪枝）。
- 否则依次遍历这一列上所有有 1 的行，其中必须有一行被选中。钦定某一行被选中，删去所有被覆盖的列和不能再选择的行，得到一个更小的矩阵，递归下去处理。
其中「选哪一列」用当前 1 最少的列（\(S\) 启发式）能把搜索树砍掉几个数量级—— 这就是 DLX 快的全部秘密。见 精确覆盖与 Dancing Links。
6 例题¶
| 题号 | 题名 | 难度 | 题解 |
|---|---|---|---|
| BISHI76 | 迷宫寻路 | 简单 | 题解 |
| BISHI77 | 数水坑 | 简单 | 题解 |
| BISHI78 | 全排列 | 简单 | 题解 |
| BISHI79 | 取数游戏 | 中等 | 题解 |
| BISHI83 | 迷宫问题 | 中等 | 题解 |
| BM55 | 没有重复项数字的全排列 | 中等 | 题解 |
| BM56 | 有重复项数字的全排列 | 中等 | 题解 |
| BM58 | 字符串的排列 | 中等 | 题解 |
| BM59 | N皇后问题 | 较难 | 题解 |
| BM60 | 括号生成 | 中等 | 题解 |
| LC22 | 括号生成 | 中等 | 题解 |
| LC17 | 电话号码的字母组合 | 中等 | 题解 |
| LC39 | 组合总和 | 中等 | 题解 |
| LC46 | 全排列 | 中等 | 题解 |
| LC51 | N 皇后 | 困难 | 题解 |
| LC78 | 子集 | 中等 | 题解 |
| LC79 | 单词搜索 | 中等 | 题解 |
| LC131 | 分割回文串 | 中等 | 题解 |
BISHI76 迷宫寻路（简单）¶
\(n \times m \le 100 \times 100\) 的迷宫，
.是空地、#是墙，四连通移动。 问能否从左上角 \((1,1)\) 走到右下角 \((n,m)\)。输出Yes/No。 题面见 原题。 题解见solutions/nowcoder/BISHI76/sol.py（已用官方样例验证）。
最裸的连通性判定。只问「能不能到」，不问步数，所以 DFS / BFS / 并查集都行， 本质是一次泛洪填充。
Python 的关键判断：\(nm = 10^4\)，最坏情况（蛇形通道）递归深度就是 \(10^4\) 层， 远超默认的 1000。所以这里必须写显式栈。
import sys
def main():
data = sys.stdin.buffer.read().split()
n, m = int(data[0]), int(data[1])
g = data[2:2 + n] # 每行一个 bytes，g[i][j] 取出来是 int
WALL = ord('#') # 在 bytes 上索引得到 int，所以取字符的码值
if g[0][0] == WALL or g[n - 1][m - 1] == WALL:
sys.stdout.write("No\n") # 起点或终点是墙，连搜都不用搜
return
vis = [bytearray(m) for _ in range(n)] # 每格 1 字节
vis[0][0] = 1 # 起点压栈之前先标记
stack = [(0, 0)] # 显式栈，深度不受解释器限制
ok = False
while stack:
x, y = stack.pop()
if x == n - 1 and y == m - 1: # 出栈时判终点，n = m = 1 时第一次就命中
ok = True
break # 只问能否到达，找到就可以停
for nx, ny in ((x - 1, y), (x + 1, y), (x, y - 1), (x, y + 1)):
# 先判越界再索引：and 的短路保证不会拿非法下标去取 vis 和 g
if 0 <= nx < n and 0 <= ny < m and not vis[nx][ny] and g[nx][ny] != WALL:
vis[nx][ny] = 1 # 入栈即标记
stack.append((nx, ny))
sys.stdout.write("Yes\n" if ok else "No\n")
main()
复杂度 \(O(nm) = 10^4\)，毫秒级。
三个坑：
- \(n = m = 1\) 时起点就是终点，答案是
Yes。上面的代码在第一次pop时 就会命中x == n-1 and y == m-1，天然正确——但如果把判定写在「入栈时」 就会漏掉起点； - 迷宫每行是不含空格的字符串，
split()按 token 读正好一行一个， 不需要按行读； - 在
bytes上索引得到的是int不是str，所以要拿ord('#')去比。 这是bytes处理的通用注意点，见 字符串处理。
BISHI77 数水坑（简单）¶
\(N \times M \le 100 \times 100\) 的田地，
W是水、.是干地。 八连通的水格属于同一个水坑。求水坑数量。 题面见 原题。 题解见solutions/nowcoder/BISHI77/sol.py（已用官方样例验证）。
连通块计数模板。唯一和常规题不同的是八连通—— 方向数组写成 4 个，会把斜着搭在一起的水格错拆成两块。
import sys
def main():
data = sys.stdin.buffer.read().split()
n, m = int(data[0]), int(data[1])
g = data[2:2 + n]
W = ord('W')
vis = [bytearray(m) for _ in range(n)]
cnt = 0
for si in range(n):
row = g[si] # 把本行绑成局部名，内层少一次二维索引
vrow = vis[si]
for sj in range(m):
if row[sj] != W or vrow[sj]:
continue # 不是水，或已属于前面数过的水坑
cnt += 1 # 发现一个新水坑
vrow[sj] = 1
stack = [(si, sj)] # 显式栈：一个水坑最多 1e4 格，递归必崩
while stack:
x, y = stack.pop()
for dx in (-1, 0, 1): # 八连通 = 3x3 邻域去掉自己
nx = x + dx
if nx < 0 or nx >= n:
continue # 行号越界，这一整行的 3 个方向一起跳过
gr, vr = g[nx], vis[nx] # 取一次行对象，内层 3 次列判断共用
for dy in (-1, 0, 1):
ny = y + dy
# dx = dy = 0 枚举到的是自己，但它已被标记，被 not vr[ny] 挡掉
if 0 <= ny < m and not vr[ny] and gr[ny] == W:
vr[ny] = 1 # 入栈即标记，防止重复入栈
stack.append((nx, ny))
sys.stdout.write("%d\n" % cnt)
main()
复杂度 \(O(8NM)\)，\(10^4\) 个格子，毫秒级。
两个坑：
- 八连通用
dx, dy双重循环枚举 \(3\times3\) 邻域（含(0,0)自己， 但自己已经被标记过，会被not vr[ny]挡掉），比写 8 个偏移量更短； - 最坏情况整张图全是
W，一个连通块 \(10^4\) 个格子， 递归版必RecursionError——这就是为什么这里用显式栈。
BISHI78 全排列（简单）¶
给定 \(n \le 9\)，按字典序输出 \(1 \sim n\) 的所有排列，每行 \(n\) 个数用空格分隔。 题面见 原题。 题解见
solutions/nowcoder/BISHI78/sol.py（已用官方样例验证）。
DFS 回溯的入门模板题——但正解不是手写回溯。
\(n = 9\) 时有 \(9! = 362880\) 行，总输出约 6.5 MB，
真正的瓶颈在 IO，不在搜索。而 itertools.permutations
对已排好序的输入产出的顺序就是字典序，且循环在 C 层跑：
import sys
from itertools import permutations
def main():
n = int(sys.stdin.buffer.read().split()[0])
digits = [str(i) for i in range(1, n + 1)] # 已升序 -> 排列即字典序；预转 str
join = " ".join # 绑成局部名，36 万次调用省下属性查找
# 全部拼成一整块再一次写出：逐行 print 会把时间全花在 IO 上
sys.stdout.write("\n".join(map(join, permutations(digits))) + "\n")
main()
三个坑：
- 绝对不能
for p in ...: print(p)——36 万次print会把时间全耗在 IO 上。 必须先"\n".join拼成一整块再一次write； - 预先把
1..n转成str，join时就不用反复map(str, ...)； itertools.permutations的字典序性质依赖输入本身有序。 如果输入是[3,1,2]，产出的顺序就不是字典序了，必须先sorted。
手写回溯版（§2 的
permutations_dfs）在 \(n=9\) 时也能过 （时限「其他语言 6 秒」很宽），但慢 10 倍以上。 这题的教学价值恰恰在于：会写回溯 ≠ 应该用回溯。 递归深度只有 \(n \le 9\) 层，所以这题不存在递归深度问题—— 这是少数可以放心递归的场合。
BISHI79 取数游戏（中等）¶
\(T \le 20\) 组数据，每组给 \(N \times M \le 6 \times 6\) 的非负整数矩阵， 取出若干数使得任意两个数不八连通相邻，求最大和。 题面见 原题。 题解见
solutions/nowcoder/BISHI79/sol.py（已用官方样例验证）。
这题是「搜索 vs DP」的分水岭，值得细读。
朴素 DFS 逐格枚举「选 / 不选」是 \(2^{36}\)，纯搜索必挂。加上剪枝呢？ 可行性剪枝（不能和已选的相邻）能砍掉很多，但最坏情况仍然不可控。
正解是状压 DP（本质是「按行记忆化的搜索」）。关键观察：
八连通相邻只会发生在「同一行相邻列」和「相邻两行且列号差 \(\le 1\)」， 隔一行以上的两个格子永远不相邻。
于是把「本行选了哪些列」压成 \(M\) 位二进制 mask，行与行之间的约束只依赖前一行：
| 约束 | 判定式 |
|---|---|
| 行内不相邻 | mask & (mask << 1) == 0 |
| 与上一行不八连通相邻 | (m1 | (m1 << 1) | (m1 >> 1)) & m2 == 0 |
第二个式子很妙：把上一行的 mask 向左右各扩一位，一次与运算同时覆盖了 正上方和两个斜上方三种冲突。
import sys
def main():
data = sys.stdin.buffer.read().split()
p = 0
t = int(data[p]); p += 1
out = []
for _ in range(t):
n, m = int(data[p]), int(data[p + 1]); p += 2
rows = []
for _ in range(n):
rows.append([int(v) for v in data[p:p + m]])
p += m
full = 1 << m # m 位二进制，共 2^m 种「本行选法」
masks = [s for s in range(full) if not (s & (s << 1))] # 行内合法：无相邻两位同为 1
spread = [s | (s << 1) | (s >> 1) for s in range(full)] # 向左右各扩一位
dp = [0] * full # dp[mask]：上一行选 mask 时的最大和
alive = [0] # 上一行取空集作为哨兵起点
for r in range(n):
row = rows[r]
val = {}
for s in masks: # 预处理本行每个 mask 的权值和
tot = 0
x = s
while x:
low = x & -x # lowbit：取出 x 最低位的那个 1，见 46-位运算
tot += row[low.bit_length() - 1] # 该 1 在第几位就加第几列的数
x ^= low # 抹掉这一位，循环次数 = 1 的个数
val[s] = tot
ndp = [-1] * full # 本行的新表，-1 表示这个 mask 无法从上一行到达
for s2 in masks:
best = -1
for s1 in alive:
if spread[s1] & s2:
continue # 扩位后仍相交 = 正上方或斜上方冲突
if dp[s1] > best:
best = dp[s1]
if best >= 0: # 至少存在一个合法的上一行搭配
ndp[s2] = best + val[s2]
dp = ndp
alive = [s for s in masks if dp[s] >= 0] # 只留可达的 mask，下一行少枚举
out.append(str(max(dp)))
sys.stdout.write("\n".join(out) + "\n")
main()
\(M = 6\) 时子集只有 64 个，行内合法的只有 21 个（是斐波那契数 \(F_8\)）。 复杂度 \(O(T \cdot N \cdot 21^2) < 6\times10^4\)，瞬间出结果。
三个坑：
- 多组数据每组都要重置
dp，别把上一组的结果带进来； mask << 1可能超出 \(M\) 位，但与mask2相与时高位天然是 0，无害；mask >> 1在 Python 里对非负整数完全安全；alive列表用来跳过「上一行不可达的 mask」（dp == -1）， 否则会把 \(-1\) 当成合法值传下去。
这题给出的判据：搜索题看到「\(N, M \le 6\)」这种小到离谱的范围， 通常意味着要按某一维压缩状态，而不是真的要暴力搜。 详见 状压 DP。
BISHI83 迷宫问题（中等）¶
\(h \times w \le 100 \times 100\) 的 01 迷宫（0 空地、1 墙）， 输出一条从 \((0,0)\) 到 \((h-1,w-1)\) 的可行路径，每行
(x,y)。 保证可行路径存在且唯一。 题面见 原题。 题解见solutions/nowcoder/BISHI83/sol.py（已用官方样例验证，用的是 BFS 版）。
这题是「输出路径」类问题的模板。核心技巧：前驱数组 pre[]。
不管是 DFS 还是 BFS，只要在「第一次访问 \(v\)」时记下 pre[v] = u，
最后从终点顺着 pre 一路倒推回起点，再 reverse 就是路径。
这里给 DFS（显式栈）版本，和 solutions/ 里的 BFS 版互为对照
（题目保证路径唯一，所以两者输出相同）：
import sys
def main():
data = sys.stdin.buffer.read().split()
h, w = int(data[0]), int(data[1])
g = data[2:2 + h * w] # b'0' / b'1'，按 token 读
WALL = b'1' # g 的元素是一个个 bytes token，直接与 b'1' 比
n = h * w # 二维压一维：下标 = x * w + y
pre = [-2] * n # -2 未访问，-1 起点，其余为前驱下标
start, goal = 0, n - 1 # (0,0) 与 (h-1,w-1) 压一维后的下标
pre[start] = -1 # 起点前驱设 -1，倒推时用它当终止条件
stack = [start] # ★ 显式栈：路径最长 1e4，递归必崩
while stack:
u = stack.pop()
if u == goal:
break # 题目保证路径唯一，摸到终点就可以收工
x, y = divmod(u, w) # 还原行列，只用于判四个方向是否越界
if x > 0: # 不在第 0 行才能往上走
v = u - w
if pre[v] == -2 and g[v] != WALL:
pre[v] = u; stack.append(v) # ★ 入栈即记前驱，pre 同时充当 vis
if x + 1 < h: # 不在最后一行才能往下走
v = u + w
if pre[v] == -2 and g[v] != WALL:
pre[v] = u; stack.append(v)
if y > 0: # 不在第 0 列才能往左走
v = u - 1
if pre[v] == -2 and g[v] != WALL:
pre[v] = u; stack.append(v)
if y + 1 < w: # 不在最后一列才能往右走
v = u + 1
if pre[v] == -2 and g[v] != WALL:
pre[v] = u; stack.append(v)
path = []
u = goal
while u != -1: # 从终点顺着 pre 倒推回起点，-1 是起点标志
x, y = divmod(u, w)
path.append("(%d,%d)" % (x, y))
u = pre[u]
path.reverse() # ★ 倒推出来是「终点 -> 起点」，翻回正序
sys.stdout.write("\n".join(path) + "\n")
main()
四个坑：
pre数组一身兼两职：-2当「未访问」标记，其余值当前驱。 省掉一个vis数组，也少一次数组访问；- 二维压成一维（
idx = x * w + y），用divmod还原。 一维数组比 list of list 快，而且前驱只需存一个整数； - 输出格式以样例为准。题面「输出描述」写的是「输出两个整数 \(x_i, y_i\)」，
但样例输出是带括号无空格的
(x,y)。样例和文字描述冲突时，永远信样例； - 回溯出来的路径是「终点 → 起点」，最后必须
reverse。
DFS 找路径 vs BFS 找路径： - 题目问「任意一条路径」→ 两者都行，DFS 常数略小； - 题目问「最短路径」→ 必须 BFS，DFS 找到的路径不保证最短 （见 BFS广度优先搜索）； - 题目问「所有路径」→ 回溯（要撤销
vis），注意可能指数爆炸。这题因为「保证路径唯一」，三种说法碰巧一致， 所以是一道很好的对照练习题。
面试题单里的六道回溯题¶
六道题全落在 §2 的模板上，差别只在「候选集怎么选」和「怎么去重」。
排列型。 没有重复项数字的全排列是 used[] 模板的原样形态。
有重复项数字的全排列多一步同层去重：先排序，
然后在同一层里跳过「与前一个相同、且前一个尚未被使用」的候选。
used[i-1] == False 这个条件容易写反——它表示前一个相同值是在本层被撤销的，
说明这条分支已经枚举过了；若前一个仍在使用中，那是在上层选走的，属于合法的不同排列。
字符串的排列是同一份代码换个输出类型，去重逻辑一字不改。
组合与剪枝。 括号生成（同一道题在另一处题库里编号 LC 22. 括号生成）
枚举长度 \(2n\) 的括号串，候选只有两个：放左括号（还有剩就能放）、
放右括号（已放的右括号数严格小于左括号数才能放）。
把这两条写成 ok() 里的判断，生成的串天然全部合法，一个都不用事后过滤——
这是剪枝的最佳形态：非法分支根本不进入搜索树。
N皇后问题是回溯的压轴题。逐行放置，列与两条对角线各开一个标记数组
（对角线下标用 r + c 与 r - c + n），三个数组同时做「做选择 / 撤销选择」。
\(n \le 9\) 时这份直白写法完全够用；把标记换成三个整数的位运算是常数优化，
思路见 位运算 的子集枚举一节。
泛洪填充。 BM57 岛屿数量（同一道题在另一处题库里编号 LC200） 是 §3 连通块的原样形态：扫一遍网格，遇到未访问的陆地就从它出发把整块染掉， 染色次数就是答案。用 DFS 还是 BFS 都行， 但 Python 里递归深度可能达到网格总格数，\(10^4\) 以上就要按 §4 改成显式栈， 或者直接换成 BFS 广度优先搜索 的队列写法。
另一处题库里的七道回溯题¶
回溯题的差别几乎全落在「下一层从哪里开始枚举」这一个参数上，模板本身不变。 按那个参数分四组，组内的代码只剩三五行的出入。
下一层从 0 开始：各层之间互不影响。 LC 17. 电话号码的字母组合每一层对应一个数字，枚举它映射到的三到四个字母， 深度等于输入长度 \(L\)，方案数最多 \(4^L\)；\(L \le 4\) 时总量在 \(256\) 以内。 LC 46. 全排列与 BISHI78 是同一道题，每层枚举所有还没用过的数，靠一个布尔数组避免重取。
下一层从 i 开始：同一个数可以重复取。
LC 39. 组合总和允许同一个候选数被选任意多次，
所以进入下一层时起点仍是当前下标；起点写成 i + 1 就变成了「每个数最多用一次」，
这一个字符就是两道不同题的分界。
剪枝有两条：候选数先排序，一旦当前和加上候选数已经超过目标就整段停止枚举。
下一层从 i + 1 开始：枚举子集与切分点。
LC 78. 子集每一层做一次「取或不取」的选择，等价于起点单调右移，共 \(2^n\) 个方案。
LC 131. 分割回文串把「取到哪」当成切分点：枚举右端点，
判断这一段是不是回文，是就切下来递归剩下的部分。
逐次朴素判回文会让整体退化到 \(O(n \cdot 2^n)\)，
先用一遍 \(O(n^2)\) 的区间动态规划把「\([i, j]\) 是不是回文」全预处理出来，每次判断降到 \(O(1)\)。
在网格或棋盘上回溯：撤销比选择更容易写错。
LC 79. 单词搜索从每个格子出发四向搜索，走过的格子先标记、递归返回后必须清掉标记，
否则同一条路径上的格子会被后续分支误判成占用。
\(m \times n\) 个起点、每步最多三个方向（来的方向不再走），
串长为 \(L\) 时上界 \(O(mn \cdot 3^L)\)。
LC 51. N 皇后按行放子，列与两条对角线各用一个集合记占用，
对角线的键分别取 r - c 与 r + c；同样是「进入时加入、返回时移除」。
\(n \le 9\) 时可行解不到 \(400\) 个，搜索空间被这三个集合剪得很小。
7 本章速查¶
| 要点 | 结论 |
|---|---|
| DFS 三件套 | vis 标记 + 后继枚举 + 出口 |
vis 不撤销 |
遍历：连通块、可达性 |
vis 撤销 |
枚举：回溯、所有路径 |
| 回溯三件套 | 选择 → 递归 → 撤销 |
| 存答案 | 必须 path[:] 复制，否则全是同一个引用 |
| 全排列/组合 | 优先 itertools，快 10–30× |
| 手写回溯的价值 | 只有在需要中途剪枝时才不可替代 |
| 入栈时机 | 入栈即标记 vis，不是出栈才标记 |
| 默认递归上限 | 1000 |
setrecursionlimit |
只改软计数器，不给栈空间 |
| 主线程物理栈 | Windows 1 MB ≈ 2500 层；Linux 8 MB ≈ 2 万层 |
threading.stack_size(1<<26) |
64 MB ≈ 7 万层；必须在建 Thread 之前调用 |
| 崩栈的表现 | 无 traceback 的静默崩溃，最难调 |
| 深度 \(\le 900\) | 放心递归 |
| 深度 \(\ge 10^5\) | 必须改迭代 |
| 深度未知 | 按最坏（链/蛇形）算，即 \(O(n)\) |
| 纯前序 DFS 改写 | 显式栈，注意访问顺序会反 |
| 后序 DFS 改写 | 两趟法：reversed(DFS 序) 就是后序 |
| 进入+退出都要 | 事件栈 (node, stage) 或迭代器栈 |
| 输出路径 | pre[] 前驱数组 + 倒推 + reverse |
| 网格题 | 二维压一维 + 四周哨兵，省边界判断 |
| 看到什么 → 想到 DFS |
|---|
| 「有多少个连通块 / 岛屿 / 水坑」 |
| 「能否从 A 到 B」（不问步数） |
| 「输出所有方案 / 全排列 / 子集」 |
| 「树上每个子树的 XXX」→ 两趟法后序 |
| 「\(n \le 20\)，枚举所有情况」 |
| 「棋盘上放 K 个互不攻击的棋子」→ 回溯 + 剪枝，或状压 DP |
| 看到什么 → 不要用 DFS |
|---|
| 「最少步数 / 最短路径」→ BFS（BFS 广度优先搜索） |
| 「所有方案数」且规模大 → DP（DP 入门） |
| 深度可能上 \(10^5\) 又必须后序 → 两趟法，不是递归 |