PIO17　单组_spj判断浮点误差¶

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一句话

给定整数半径 r，求圆的面积。

解题思路¶

这题考什么¶

输入形态：单组数据，一行一个整数。题面输入描述里把这个数写作 n，但按题目描述它是圆的半径，所以代码里叫 r。考点是浮点结果的输出方式，以及带误差容忍的判定。

本题是浮点判定（float），容忍误差 1e-3 （见 solutions/_judge.json 里 PIO17 的 mode 为 float、eps 为 0.001）。判定不是逐字符比对，而是把两边的数值读出来，判断差的绝对值是否在容忍范围内。

为什么浮点题不能直接相等比较¶

圆面积是 pi 乘 r 的平方，pi 是无理数，十进制展开无限不循环，任何有限位数的输出都只是近似值——「正确答案」这个字符串根本不存在。再往下一层，float 是 IEEE-754 双精度，只有约 15 到 16 位有效十进制数字，而且乘法本身也要舍入；不同实现的运算顺序、库函数精度稍有差别，末位就会不同。要求两个浮点数逐位相等，等于要求两套实现的舍入误差完全一致，这是做不到的。所以浮点题一律改用「差的绝对值小于容忍值」来判定，容忍值由题目给出（本题 1e-3）。相关讨论见 23-浮点与科学计数法。

为什么用 math.pi 而不是自己写 3.14159¶

math.pi 是双精度下最接近 pi 的值，有效数字约 16 位；手写的 3.14159 只有 6 位有效数字，与真值相差约 2.65e-6。这个偏差会被 r 的平方放大：r 取上界 1e3 时面积约 3.14e6，绝对误差约 2.65e-6 乘 1e6，即约 2.65——比容忍的 1e-3 大了三个数量级，必定判错。误差容忍是给舍入用的，不是给偷工减料的常数用的。

为什么输出 6 位小数¶

输出位数本身也会引入误差，最大是末位的一半。只保留 2 位小数时，这个截断误差最大 0.005，已经超过容忍的 1e-3，可能被判错；保留 4 位小数时最大 5e-5，才安全。取 6 位是留足余量：面积最大约 3.14e6，加上 6 位小数共约 13 位有效数字，仍在双精度的 15 到 16 位之内，不会输出出双精度撑不住的假精度。位数宁多勿少，多给几位不会错，少给几位会踩容忍线。

数据规模与复杂度¶

1 <= r <= 1e3，r 的平方最多 1e6，面积最大约 3.14e6，双精度绰绰有余。时间和空间都是 O(1)。

坑在哪¶

自己写近似的 pi 会超出误差容忍，这是本题最典型的失分原因。
输出位数太少同样会超出容忍，至少要 4 位小数。
半径是整数，但面积不是；int(input()) 读半径没问题，计算结果不要再取整，那会引入远大于 1e-3 的误差。

参考实现¶

solutions/PIO17.py
import math

r = int(input())
# 输出 6 位小数：截断误差约 5e-7，远小于题目容忍的 1e-3，同时不超出双精度的有效位数
print("%.6f" % (math.pi * r * r))

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